Die Modulationstransferfunktion – eine Einführung

Komponenten | Was ist die Modulationstransferfunktion? | Bedeutung | Charakterisierung

Wenn Optikingenieure die Leistung von optischen Systemen vergleichen möchten, wird dafür oftmals die Modulationstransferfunktion (MTF) verwendet. Die MTF wird für so einfache Komponenten wie sphärische Einzellinsen bis hin zu komplexen telezentrischen Objektiven mit mehreren Elementen verwendet. Um den Stellenwert der MTF zu verstehen, finden Sie hier einige allgemeine Grundlagen und praktische Beispiele für die Definition der MTF einschließlich Komponenten, Bedeutung und Charakterisierung.

DIE KOMPONENTEN DER MTF

Für eine richtige Definition der Modulationstransferfunktion müssen zuerst zwei notwendige Begriffe für die Charakterisierung der Abbildungsleistung definiert werden: Auflösung und Kontrast.

Auflösung

Bei der Auflösung handelt es sich um die Fähigkeit eines Bildverarbeitungssystems, Objektdetails zu unterscheiden. Die Auflösung wird häufig in Linienpaaren pro Millimeter ausgedrückt (wobei ein Linienpaar eine Folge einer schwarzen und einer weißen Linie ist). Dieses Maß, Linienpaare pro Millimeter $ \small{\left( \tfrac{\text{lp}}{\text{mm}} \right)} $, wird auch Raumfrequenz genannt. Der Kehrwert der Raumfrequenz ist der Abstand in Millimetern zwischen zwei aufgelösten Linien. Zum Überprüfen der Systemleistung sind Testmuster mit einer Reihe von äquidistanten, abwechselnd weißen und schwarzen Bereichen (z. B. ein 1951 USAF-Testbild oder ein Ronchi-Gitter) abesonders gut geeignet. Ausführlichere Informationen zu Testbildern finden Sie in unserem Artikel zur zur Auswahl des richtigen Testbilds. Bei allen Abbildungsoptiken werden die perfekten Linienkanten bei der Abbildung eines solchen Musters etwas unscharf (Abbildung 1). Hochauflösende Bilder zeigen viele Details an, da die Unschärfe minimal ist. Demgegenüber fehlen in Bildern mit geringer Auflösung feine Details.

Abbildung 1: Perfekte Linienkanten vor (links) und nach (rechts) dem Durchgang durch ein Objektiv mit geringer Auflösung

Sie können Linienpaare besser verstehen, wenn Sie sich diese als Bildpunkte auf einem Kamerasensor vorstellen, wobei ein einzelnes Linienpaar zwei Bildpunkten entspricht (Abbildung 2). Für jedes Linienpaar, das die Auflösung definiert, sind zwei Bildpunkte des Kamerasensors erforderlich: ein Bildpunkt entspricht der roten Linie, der andere dem Leerraum zwischen Bildpunkten. Anhand der oben erwähnten Vorstellung kann die Bildauflösung der Kamera jetzt als das Zweifache der Bildpunktgröße angegeben werden.

Abbildung 2: Abbildungsszenario, in dem das Linienpaar NICHT aufgelöst (a) bzw. das Linienpaar aufgelöst (b) wird

Dementsprechend wird die Objektauflösung über die Kameraauflösung und die Primärvergrößerung (PMAG) des Objektivs berechnet (Gleichung 1 und Gleichung 2). Hier muss unbedingt darauf hingewiesen werden, dass in diesen Gleichungen davon ausgegangen wird, dass das Objektiv die Auflösung nicht beeinträchtigt.

Kontrast/Modulation

Stellen Sie sich vor, dass die Intensität eines Testmusters normalisiert wird, indem den weißen Musterbereichen ein Maximalwert und den schwarzen Musterbereichen der Wert Null zugewiesen wird. Die Darstellung dieser Werte als Kurve führt zu einer Rechteckwelle, anhand derer die Vorstellung des Kontrasts erleichtert wird (Abbildung 3). Mathematisch wird der Kontrast gemäß Gleichung 3 berechnet:

Abbildung 3: Kontrast, ausgedrückt als Rechteckwelle

Wird dieses gleiche Prinzip auf das Abbildungsbeispiel in Abbildung 1 angewendet, ist das Intensitätsmuster vor und nach der Abbildung erkennbar (Abbildung 4). Der Kontrast bzw. die Modulation kann dann als Abbildungstreue der minimalen und maximalen Intensitätswerte von der Objektebene in die Bildebene definiert werden.

Stellen Sie sich zum besseren Verständnis der Beziehung zwischen Kontrast und Bildqualität ein Objektiv mit der gleichen Auflösung wie in Abbildung 1 und Abbildung 4 vor, das jedoch zum Abbilden eines Objekts mit einer größeren Linienpaarfrequenz verwendet wird. Abbildung 5 zeigt, dass der Kontrast des Bilds abnimmt, wenn die Raumfrequenz der Linienpaare zunimmt. Dieser Effekt ist bei der Verwendung von Objektiven der gleichen Auflösung immer vorhanden. Damit das Bild objekttreu angezeigt wird, muss schwarz wirklich schwarz und weiß wirklich weiß mit einem minimalen Graustufenanteil dazwischen sein.

Abbildung 4: Kontrast eines Testmusters und des zugehörigen Bilds

Abbildung 5: Kontrastvergleich zwischen Objekt- und Bildebene

In Bildverarbeitungsanwendungen spielen Objektiv, Kamerasensor und Beleuchtung eine wichtige Rolle bei der Bestimmung des resultierenden Bildkontrasts. Der Objektivkontrast wird normalerweise als Prozentsatz des reproduzierten Objektkontrasts definiert. Die Fähigkeit des Sensors, den Kontrast zu reproduzieren, wird für Analogkameras normalerweise in Dezibel (dB) und für Digitalkameras in Bits angegeben.

WAS IST DIE MTF?

Nachdem die Komponenten der Modulationstransferfunktion (MTF), Auflösung und Kontrast/Modulation, bekannt sind, kann jetzt die MTF eingehender behandelt werden. Die MTF eines Objektivs ist – wie der Name schon sagt – ein Maß für die Fähigkeit des Objektivs, Kontrast bei einer bestimmten Auflösung vom Objekt auf das Bild zu übertragen. Mit anderen Worten: die MTF ist eine Möglichkeit, Auflösung und Kontrast in einer einzigen Spezifikation anzugeben. Wenn der Linienabstand im Testbild abnimmt (d. h., die Raumfrequenz zunimmt), wird es für das Objektiv immer schwerer, diese Kontrastabnahme effizient zu übertragen. Die MTF nimmt daher ab (Abbildung 6).

Abbildung 6: MTF für ein aberrationsfreies Objektiv mit einer rechteckigen Apertur

Für ein aberrationsfreies Bild mit einer kreisförmigen Pupille wird die MTF durch Gleichung 4 bestimmt. Die MTF ist dabei eine Funktion der räumlichen Auflösung $ \small{\left( \xi \right)} $, die sich auf das kleinste Linienpaar bezieht, die das System auflösen kann. Die Grenzfrequenz $ \small{\left( \xi _c \right)} $ wird gemäß Gleichung 6 berechnet.

In Abbildung 6 ist die MTF eines aberrationsfreien Bilds mit einer rechteckigen Pupille grafisch dargestellt. Wie zu erwarten, wird die MTF kleiner, wenn die räumliche Auflösung größer wird. Hier muss darauf hingewiesen werden, dass diese Fälle idealisiert sind, da kein reales System völlig aberrationsfrei ist.

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DIE BEDEUTUNG DER MTF

In der klassischen Systemintegration (und weniger kritischen Anwendungen) wird die Leistung des Systems gemäß dem Prinzip des schwächsten Glieds grob abgeschätzt. Das Prinzip des schwächsten Glieds besagt, dass die Auflösung eines Systems ausschließlich durch die Komponente mit der geringsten Auflösung begrenzt wird. Obwohl diese Methode für überschlägige Abschätzungen sehr nützlich ist, ist sie in Wirklichkeit unzureichend, weil jede Komponente im System einen Fehlerbeitrag zum Bild leistet, sodass die Bildqualität schlechter ist als die durch das schwächste Glied allein verursachte Qualität.

Alle Komponenten in einem System verfügen über eine Modulationstransferfunktion (MTF) und tragen somit zur Gesamt-MTF des Systems bei. Dazu zählen beispielsweise u. a. das Objektiv, der Kamerasensor, die Bilderfassungskarte und die Videokabel. Die resultierende MTF des Systems ist das Produkt aller MTF-Kurven der jeweiligen Systemkomponenten (Abbildung 7). Ein 25-mm-Objektiv mit fester Brennweite und ein gaußsches Doppelobjektiv mit einer Brennweite von 25 mm können z. B. durch Auswertung der resultierenden Systemleistung beider Objektive mit einer Monochromkamera von Sony verglichen werden. Durch die Analyse der MTF-Kurve des Systems kann direkt bestimmt werden, welche Kombination die gewünschte Leistung bietet. In einigen messtechnischen Anwendungen ist beispielsweise für eine präzise Kantenerkennung im Bild ein bestimmter Kontrast erforderlich. Wenn der minimale Kontrast 35% sein muss und die erforderliche Bildauflösung 30 lp/mm beträgt, ist das gaußsche Doppelobjektiv mit einer Brennweite von 25 mm die optimale Auswahl.

Die MTF stellt eines der besten Hilfsmittel dar, um die gesamte Abbildungsleistung eines Systems in Bezug auf Auflösung und Kontrast zu quantifizieren. Wenn ein Optikingenieur die MTF-Kurven aller Objektive und Kamerasensoren in einem System kennt, kann er bei der Optimierung für eine bestimmte Auflösung die geeignete Wahl treffen.

Abbildung 7: Die System-MTF ist das Produkt der MTF der einzelnen Komponenten: Objektiv-MTF × Kamera-MTF = System-MTF

CHARAKTERISIERUNG DER MTF

Bestimmen der realen MTF

Die theoretische Kurve einer Modulationstransferfunktion (MTF) kann anhand der optischen Linsendaten erstellt werden. Obwohl dies hilfreich sein kann, ist damit nicht die tatsächliche, reale Leistung des Objektivs nach Berücksichtigung von Fertigungstoleranzen bekannt. Fertigungstoleranzen führen immer zu einer geringeren Leistung im Vergleich zum ursprünglichen optischen Design, da Faktoren wie Geometrie und Beschichtung geringfügig von einem idealen Objektiv oder Objektivsystem abweichen. Aus diesem Grund setzt Edmund Optics^® an seinen Fertigungsstandorten optische Prüf- und Messgeräte ein, um die MTF zu quantifizieren. Die Prüf- und Messgeräte für die MTF ermöglichen eine Charakterisierung der tatsächlichen Leistung von anwendungsspezifisch entworfenen Objektiven und im Handel erhältlichen Objektiven (deren optische Linsendaten nicht öffentlich verfügbar sind). So kann eine konkrete Integration – bisher auf Objektive mit bekannten Linsendaten beschränkt – jetzt auch handelsübliche Objektive enthalten.

Lesen von MTF-Diagrammen/Daten

Eine große Fläche unter der MTF-Kurve ist nicht immer ein Anzeichen für eine optimale Wahl. Ein Optikingenieur muss seine Entscheidung basierend auf der Auflösung für die jeweilige Anwendung fällen. Wie bereits oben erwähnt, stellt ein MTF-Diagramm den Prozentsatz des übertragenen Kontrasts über der Raumfrequenz (Zyklen/mm) der Linien grafisch dar. Bei den MTF-Kurven, die von Edmund Optics® zur Verfügung gestellt werden, müssen folgende Punkte beachtet werden:

1. Jede MTF-Kurve wird für einen einzelnen Punkt im Raum berechnet. Normalerweise erfolgt die Berechnung für Punkte in der Mitte (auf der Achse), bei 70% und am Rand des Bildfelds. 70% des Bildfelds ist ein gebräuchlicher Referenzpunkt, da ca. 50% des gesamten Abbildungsbereichs erfasst werden.
2. MTF-Daten außerhalb der Achse werden für tangentiale und sagittale Fälle (gekennzeichnet mit T bzw. S) berechnet. Mitunter wird ein Mittelwert anstelle von zwei einzelnen Kurven dargestellt.
3. MTF-Kurven hängen von mehreren Faktoren ab, z. B. den konjugierten Größen des Systems, den Wellenlängenbereichen und der Blendenzahl (f/#). Eine MTF-Kurve wird jeweils bei bestimmten Werten berechnet. Daher müssen diese Faktoren unbedingt überprüft werden, bevor die Eignung einer Komponente für eine bestimmte Anwendung ermittelt wird.
4. Die Raumfrequenz wird in Zyklen (oder Linienpaaren) pro Millimeter ausgedrückt. Der Kehrwert dieser Raumfrequenz ergibt den Abstand eines Linienpaares (die Aufeinanderfolge eines schwarzen und eines weißen Strichs) in Millimetern.
5. Die MTF-Nennkurve wird anhand der üblichen optischen Linsendaten erzeugt, die in Entwurfsprogrammen für optische Systeme verfügbar sind. Diese optischen Linsendaten finden Sie auch auf unserer Website, in unseren gedruckten Katalogen sowie in unseren Objektivkatalogen für Zemax^®. Die nominale MTF stellt das optimale Szenario dar und berücksichtigt keine Fertigungstoleranzen.

Gedanklich kann die MTF schwer zu begreifen sein. Die einfachste Möglichkeit, diese Vorstellung der Kontrastübertragung von der Objektebene in die Bildebene zu verstehen, ist vielleicht die Untersuchung eines realen Beispiels. Die Abbildungen 8 bis 12 vergleichen die MTF-Kurven und Bilder für zwei 25-mm-Objektive mit fester Brennweite: #54-855 endlich korrigiertes µVideo-Objektiv und #59-871 kompaktes Objektiv mit Festbrennweite. Abbildung 8 veranschaulicht die polychrome Beugungs-MTF für diese beiden Objektive. Abhängig von den Prüfbedingungen können beide Objektive eine gleichwertige Leistung erbringen. In diesem speziellen Beispiel sollen beide Objektive die Elemente 5 und 6 in der Gruppe 2 (die roten Kästchen in Abbildung 10) sowie die Elemente 5 und 6 in der Gruppe 3 (die blauen Kästchen in Abbildung 10) in einem 1951 USAF-Testbild (Abbildung 9) auflösen. Was die tatsächliche Objektgröße angeht, stellen die Elemente 5 und 6 in der Gruppe 2 eine Raumfrequenz von 6,35 und $ \small{7,13 \tfrac{\text{lp}}{\text{mm}}} $ (14,03 bzw. 15,75 μm) sowie die Elemente 5 und 6 in der Gruppe 3 eine Raumfrequenz von 12,70 und $ \small{14,25 \tfrac{\text{lp}}{\text{mm}}} $ (7,02 bzw. 7,87 μm) dar. Eine einfache Möglichkeit zum Berechnen der Auflösung, wenn die Element- und Gruppennummern bekannt sind, bietet unser 1951 USAF-Auflösungsrechner.

Bei gleichen Prüfparametern ist offensichtlich, dass das Objektiv #59-871 (mit einer besseren MTF-Kurve) eine bessere Abbildungsleistung als das Objektiv #54-855 aufweist (Abbildung 11 und Abbildung 12). In diesem realistischen Beispiel mit diesen speziellen 1951 USAF-Elementen führt ein höherer Modulationswert bei höheren Raumfrequenzen zu einem klareren Bild. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Einige Objektive sind so ausgelegt, dass sie kleinere Raumfrequenzen sehr präzise auflösen können, und verfügen über eine sehr kleine Grenzfrequenz (d. h., dass sie keine höheren Raumfrequenzen auflösen können). Wären die Elemente 5 und 6 in der Gruppe -1 als Testbild verwendet worden, hätten die beiden Objektive wegen ihrer Modulationswerte bei kleineren Raumfrequenzen wesentlich ähnlichere Bilder erzeugt.

Abbildung 8: Vergleich der polychromatischen Beugungs-MTF für ein endlich korrigiertes µVideo-Objektiv #54-855 (links) und ein kompaktes Objektiv mit Festbrennweite #59-871 (rechts)

Abbildung 9: 1951 USAF-Testbild

Abbildung 10: Vergleich zwischen dem endlich korrigierten µVideo-Objektiv #54-855 (links) und dem kompakten Objektiv mit Festbrennweite #59-871 (rechts) bei Auflösung der Elemente 5 und 6 der Gruppe 2 (rote Kästchen) sowie der Elemente 5 und 6 der Gruppe 3 (blaue Kästchen) in einem 1951 USAF-Testbild

Abbildung 11: Vergleich zwischen dem endlich korrigierten µVideo-Objektiv #54-855 (links) und dem kompakten Objektiv mit Festbrennweite #59-871 (rechts) bei Auflösung der Elemente 5 und 6 der Gruppe 2 in einem 1951 USAF-Testbild

Abbildung 12: Vergleich zwischen dem endlich korrigierten µVideo-Objektiv #54-855 (links) und dem kompakten Objektiv mit Festbrennweite #59-871 (rechts) bei Auflösung der Elemente 5 und 6 der Gruppe 3 in einem 1951 USAF-Testbild

Die Modulationstransferfunktion (MTF) stellt einen der wichtigsten Parameter für die Messung der Bildqualität dar. Optikingenieure nutzen häufig MTF-Daten als Referenz, insbesondere in Anwendungen, in denen es darauf ankommt, dass ein bestimmtes Objekt präzise abgebildet wird. Um die MTF wirklich zu begreifen, ist ein Verständnis der Begriffe Auflösung und Kontrast sowie der Übertragung des Bilds eines Objekts von der Objektebene in die Bildebene erforderlich. Obwohl zunächst abschreckend, sind Kenntnis und Deutung der MTF-Daten ein leistungsfähiges Hilfsmittel für jeden Optikingenieur. Mit Fachwissen und Erfahrung kann die MTF die Auswahl des richtigen Objektivs in dem umfangreichen verfügbaren Angebot erheblich vereinfachen.

Referenzen

1. Dereniak, Eustace. "OPTI 340 - Optical Design." Lecture, The University of Arizona, Tucson, AZ, Spring 2010.
2. Geary, Joseph M. "Chapter 34 – MTF: Image Quality V." In Introduction to Lens Design: With Practical Zemax Examples, 389-96. Richmond, VA: Willmann-Bell, 2002.
3. Hecht, Eugene. "11.3.5 Transfer Functions." In Optics, 550-56. 4th ed. San Francisco, CA: Addison-Wesley, 2001.
4. Smith, Warren J. "Chapter 15.8 The Modulation Transfer Function." In Modern Optical Engineering, 385-90. 4th ed. New York, NY: McGraw-Hill Education, 2008.