Unsicherheit in LIDT-Spezifikationen

Dies ist der Abschnitt 15.9 des Leitfadens für Laseroptiken.

Angaben zur laserinduzierten Zerstörschwelle (LIDT) sind keine absolute Garantie, dass unter einem bestimmten Wert keine Schäden auftreten. Unsicherheiten im LIDT-Wert entstehen durch Schwankungen im Prüflaser, das Verfahren für die Erkennung von Schäden und Unterabtastung der Defekte in der Optik. Diese Unsicherheiten führen zu einem Konfidenzintervall um die tatsächliche Schadenswahrscheinlichkeit als Funktion der Fluenz.

Das Ergebnis der LIDT-Prüfung ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Basis einer Binomialverteilung der Experimentaldaten. Das Konfidenzintervall für Schäden, die in einer realen Umgebung entstehen, kann abhängig von der Verteilungsfunktion und der Anzahl der erfolgten Beobachtungen über ein Wilson-Intervall bestimmt werden. Beim Wilson-Intervall (w) handelt es sich um ein Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung definiert als:

(1)$$ w = \frac{1}{1 + \frac{z^2}{n}} \left( P + \frac{z^2}{2n} \pm z \sqrt{\frac{P \left( 1 - P \right)}{n}} + \frac{z^2}{4 n^2} \right) $$

Dabei ist n die Anzahl der Schüsse bei den einzelnen Fluenzstufen, P ist die experimentell ermittelte Schadenswahrscheinlichkeit und z ist die Probit- oder Quantilfunktion der Standardnormalverteilung.¹ z entspricht dem gewünschten Konfidenzniveau. (z ist beispielsweise 1,96 für ein Konfidenzniveau von 95 %.)

Das ±-Zeichen in Gleichung 1 führt zu zwei möglichen Werten für das Wilson-Intervall. Der größere Wert ist die Obergrenze des Konfidenzintervalls für das Auftreten eines Schadens in einer realen Anwendung, während der kleinere Wert die Untergrenze des Konfidenzintervalls für einen Schaden ist. Durch grafische Darstellung von w als Funktion von n und P entsteht ein 3D-Diagramm, das eine visuelle Bestimmung des Wahrscheinlichkeitsbereichs für einen Schaden bei einem gegebenen Konfidenzniveau ermöglicht (Abbildung 1). In Abbildung 1 Abbildung 1 kann bei 10 Schüssen pro Fluenzstufe lediglich festgestellt werden, dass die Schadenswahrscheinlichkeit ca. ±25 % beträgt. Wenn keine Schadensereignisse über zehn Prüfstellen festgestellt werden, tritt im schlechtesten Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 25% an der 11. Stelle ein Schaden auf. Damit das Auftreten eines Schadens mit einer Wahrscheinlichkeit besser als ±5 % bestimmt werden kann, sind mehr als 100 Schüsse bei jeder Fluenzstufe erforderlich. Diese hohe Anzahl von Schüssen pro Fluenzstufe kommt normalerweise aus Kostengründen nicht infrage, sodass eine Vorhersage des wahren Verhaltens einer Optik am besten durch eine Simulation erfolgt.

Abbildung 1: Konfidenzintervall für die Schadenswahrscheinlichkeit einer Optik, wobei die rote Fläche die Obergrenze des Konfidenzintervalls für das Auftreten eines Schadens ist und die blaue Fläche die Untergrenze des Konfidenzintervalls.

Referenzen

Wilson, Edwin B. “Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference.” Journal of the American Statistical Association, vol. 22, no. 158, 1927, pp. 209–212., doi:10.2307/2276774.

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